合数术

十一卷。英白尔尼撰，傅兰雅(详见《数学理》)、华衡芳(详见《代数术》)合译。《合数术》译本无原著写作年代。作者在“总引”中指出：“此书所论之理，谓之合数，乃算学中一种新术，并非将旧术所能推之事，更立新法也。”“西国始悟得此术之人，名曰密几理。自密几理以前，未有人考究此种数理也。”“此种算学能推广真数之作用，扩充算学之界限，又能设立新法，使甚难而大有用之题易推，可免用表及其繁之式，并不足凭之略法。”“此书中所有之算式，并非删繁就简，每算一题，必将其层累曲折，步步写出，因不欲之致迷也。”这是一部介绍合数算法的专著，它的造算过程繁复冗长，并需依靠“合数表”。其内容如下：卷首总引中先介绍“合数术”总貌，尔后在“卷首(上)”讲述合数的定义、记号，合数与常数的互换方法。在“卷首(下)”中给出六种互换表，并取大量例题以明其用。卷一－卷三论述合数的基本运算：乘法、除法、乘方及开方法。卷四－卷六讨论合数在平面三角、球面三角中的应用。卷七－卷九论述用合数之法解各种代数方程。其中较有特色的是解方程x²－120x－100x+999x=91000，求得x=358．98937。还有解方程x^x=8722．83528，求得x=5．38776485．卷十为“杂题之法”。其内容有代数、方程、三角测量、椭圆积分、球面三角以及一些较深的物理问题。卷十一再论“合数开方术”，即代数方程求根的问题。并称“代数学之功夫大半从相等内求出其未知之数，……，从前最有名之各算家已费尽大力欲求各次乘方式之根，迄未能得公法，固惟用数学以求各方之根，其法最为繁重。”认为“此书所设之公法不难合于平常各事之用，故可以云：此法为代数学内所增之各门中最益之事，无此公法，则代数之学未为完善也。”在卷首(上)中给出的“合数”定义是：“凡数无论何数，命之为(N)，皆能化之为级数连乘之形”即省去括号内的底数，仅以指数记之为：N=a_↓（1，a₂，a₃，……，其中a_i(i=1，2，…)即是N的合数。一般说来，这种化实数为合数的结果不唯一，即一个实数的合数形式有多种。原著以π为例说明之：即3．1415927=_{2，0，1，0，0，8，2，3=↓12，0，0，10，0，6，16，18=↓10，15，40，20，35，40，30，25=↓7，42，56，35，14，28，49，7=↓0，0，0，0，0，0，0，114478742。据合数定义，合数的乘除之法为：α↓α↓（1}，α₂，α_n×β_↓（1，β₂，…，β_n=α·β_↓（1+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n，α_↓（1，α₂，…，α_n÷β_↓（1，β₂，…，β_n=_↓（1－β₁，α₂－β₂，…，α_n－β_n。书中还以大量篇幅讨论合数与常数的互化问题。为了阐明合数的应用，原著举了大量例子，涉及到西方近代科学领域，这对于研究西方科学的传入颇为重要。其中有：卷七第十题“解代数各次相等之式公法”给出了正态分布函数和曲线；卷十“用合数解数种紧要之题”第十四题以汽缸活塞运动为对象讨论了平衡过程的做功；第十五题“摆以平圆线摆动之时”，讨论了单摆问题。通过介绍可知《合数术》立术新颖，应用较广，并非专论对数。不过由于其计算过于繁复冗杂不易掌握，终未成气候而逐渐消亡。傅、华两氏的《合数术》十一卷译本，终未能刊刻，但晚清学者林绍清于1888年刻印出版了《合数述》二卷，是《合数术》的节本。后人对《合数术》的研究因资料所限而未能进行。当代中算史家李迪于五十年代在上海书坊购得《合数术》五册十一卷，扉页上书：“此册为余手写校定之本，依此写校，即可付梓矣。蘅芳识。”可见这是华氏稿本，现藏李迪处。李迪的研究生纪志刚在《稿本〈合数术〉研究》(载《数学史研究文集第一辑》)中对此稿本作了详细介绍和初步研究。